Theorem rngisomring 20399

Description: If there is a non-unital ring isomorphism between a unital ring and a non-unital ring, then both rings are unital. (Contributed by AV, 27-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rngisomring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem rngisomring

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1135	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Rng)
2		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	2, 3	rngisomfv1 20397	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑆))
5	4	3adant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑆))
6		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = ((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥))
7	6	eqeq1d 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → ((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ↔ ((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥))
8		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
9	8	eqeq1d 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥))
10	7, 9	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥) ↔ (((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥)))
11	10	ralbidv 3172	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥)))
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅))) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥)))
13		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
14	2, 3, 13	rngisom1 20398	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥))
15	5, 12, 14	rspcedvd 3609	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥))
16	3, 13	isringrng 20216	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Ring ↔ (𝑆 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥)))
17	1, 15, 16	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ∃wrex 3065  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  ._rcmulr 17227  Rngcrng 20085  1_rcur 20114  Ringcrg 20166   RngIso crngim 20367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-mgmhm 18645  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-ghm 19161  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-rnghm 20368  df-rngim 20369

This theorem is referenced by:  rngringbdlem2  21190