Theorem rnfi 9351

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5683	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 9196	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 9346	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ^◡ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673  Fincfn 8955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-fin 8959

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  9352  unirnffid  9360  abrexfi  9368  gsum2dlem1  19916  gsum2dlem2  19917  tsmsxplem1  24044  prdsmet  24263  itg1addlem4  25615  relfi  32377  imafi2  32477  cmpcref  33387  carsggect  33874  carsgclctunlem2  33875  carsgclctunlem3  33876  breprexplema  34198  ptrecube  37028  heicant  37063  mblfinlem1  37065  ftc1anclem3  37103  istotbnd3  37179  sstotbnd2  37182  sstotbnd  37183  totbndbnd  37197  cantnfub  42673  cantnfub2  42674  rnmptfi  44467  rnffi  44471  choicefi  44496  stoweidlem39  45350  stoweidlem59  45370  fourierdlem31  45449  fourierdlem42  45460  fourierdlem54  45471  aacllem  48157