Theorem redivcld 12064

Description: Closure law for division of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem redivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		redivcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		redivcl 11955	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  (class class class)co 7414  ℝcr 11129  0cc0 11130   / cdiv 11893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894

This theorem is referenced by:  recp1lt1  12134  ledivp1  12138  supmul1  12205  rimul  12225  div4p1lem1div2  12489  divelunit  13495  fldiv4p1lem1div2  13824  fldiv4lem1div2uz2  13825  quoremz  13844  intfracq  13848  fldiv  13849  modmulnn  13878  modmuladd  13902  modmuladdnn0  13904  expnbnd  14218  discr1  14225  discr  14226  sqreulem  15330  fprodle  15964  fldivndvdslt  16382  flodddiv4t2lthalf  16384  iccpnfhmeo  24857  ipcau2  25149  mbfmulc2lem  25563  i1fmulc  25620  itg1mulc  25621  itg2monolem3  25669  dvferm2lem  25905  dvcvx  25940  radcnvlem1  26336  tanord1  26458  logf1o2  26571  relogbcl  26692  ang180lem2  26729  chordthmlem2  26752  jensenlem2  26907  regamcl  26980  gausslemma2dlem0d  27279  gausslemma2dlem3  27288  gausslemma2dlem4  27289  gausslemma2dlem5  27291  2lgslem1a2  27310  2lgslem1  27314  2lgslem2  27315  2lgsoddprmlem2  27329  selberg3lem1  27477  selberg4lem1  27480  ostth2  27557  ttgcontlem1  28682  colinearalg  28708  axsegconlem8  28722  axpaschlem  28738  axeuclidlem  28760  nmophmi  31828  unitdivcld  33438  dya2icoseg  33833  dya2iocucvr  33840  signsply0  34119  logdivsqrle  34218  hgt750lem  34219  hgt750leme  34226  tgoldbachgtde  34228  sinccvglem  35212  circum  35214  knoppndvlem1  35923  knoppndvlem14  35936  knoppndvlem15  35937  knoppndvlem17  35939  knoppndvlem18  35940  knoppndvlem19  35941  knoppndvlem21  35943  poimirlem31  37059  itg2addnclem  37079  itg2addnclem2  37080  areacirclem1  37116  areacirclem4  37119  lcmineqlem15  41451  3lexlogpow5ineq2  41463  3lexlogpow5ineq4  41464  3lexlogpow2ineq1  41466  3lexlogpow2ineq2  41467  3lexlogpow5ineq5  41468  dvrelog2  41472  dvrelog3  41473  dvrelog2b  41474  dvrelogpow2b  41476  aks4d1p1p4  41479  aks4d1p1p6  41481  aks4d1p1p7  41482  aks4d1p1p5  41483  aks4d1p5  41488  aks4d1p8  41495  aks6d1c2lem4  41530  2ap1caineq  41549  itrere  41801  pellexlem1  42171  pellexlem6  42176  reglogcl  42232  modabsdifz  42329  areaquad  42567  imo72b2  43525  hashnzfzclim  43682  sineq0ALT  44299  suplesup  44644  reclt0d  44692  xrralrecnnge  44695  ltdiv23neg  44699  iooiinioc  44864  0ellimcdiv  44960  dvdivbd  45234  ioodvbdlimc1lem1  45242  ioodvbdlimc1lem2  45243  ioodvbdlimc2lem  45245  stoweidlem1  45312  stoweidlem13  45324  stoweidlem26  45337  stoweidlem34  45345  stoweidlem36  45347  stoweidlem51  45362  stoweidlem60  45371  wallispilem4  45379  wallispilem5  45380  stirlingr  45401  dirker2re  45403  dirkerval2  45405  dirkerre  45406  dirkertrigeq  45412  dirkeritg  45413  dirkercncflem1  45414  dirkercncflem4  45417  fourierdlem4  45422  fourierdlem7  45425  fourierdlem9  45427  fourierdlem16  45434  fourierdlem19  45437  fourierdlem21  45439  fourierdlem22  45440  fourierdlem24  45442  fourierdlem26  45444  fourierdlem30  45448  fourierdlem39  45457  fourierdlem41  45459  fourierdlem42  45460  fourierdlem43  45461  fourierdlem47  45464  fourierdlem48  45465  fourierdlem49  45466  fourierdlem51  45468  fourierdlem56  45473  fourierdlem57  45474  fourierdlem58  45475  fourierdlem59  45476  fourierdlem63  45480  fourierdlem64  45481  fourierdlem66  45483  fourierdlem71  45488  fourierdlem72  45489  fourierdlem78  45495  fourierdlem83  45500  fourierdlem87  45504  fourierdlem89  45506  fourierdlem90  45507  fourierdlem91  45508  fourierdlem95  45512  fourierdlem103  45520  fourierdlem104  45521  etransclem48  45593  qndenserrnbllem  45605  sge0rpcpnf  45732  sge0ad2en  45742  ovnsubaddlem1  45881  hoidmvlelem3  45908  ovolval5lem1  45963  ovolval5lem2  45964  vonioolem2  45992  vonicclem2  45995  pimrecltneg  46035  smfrec  46100  smfdiv  46108  sigardiv  46172  lighneallem2  46869  requad01  46884  requad1  46885  requad2  46886  modn0mul  47516  refdivmptf  47538  fldivexpfllog2  47561  dignnld  47599  dig2nn1st  47601  dig2bits  47610  dignn0flhalflem2  47612  affinecomb1  47698  eenglngeehlnmlem1  47733  eenglngeehlnmlem2  47734  rrx2vlinest  47737  line2ylem  47747  line2  47748  line2xlem  47749  itsclc0lem1  47752  itsclc0lem2  47753  itscnhlc0yqe  47755  itsclquadb  47772