Theorem metakunt11 41587

Description: C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt11.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt11.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt11.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt11.4	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
metakunt11.5	⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
metakunt11.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))

Assertion

Ref	Expression
metakunt11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐼   𝑦,𝐼   𝑥,𝑀   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑦,𝑋   𝜑,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem metakunt11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metakunt11.4	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐴 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)))))
3		eqeq1 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → (𝑥 = 𝐼 ↔ (𝐶‘𝑋) = 𝐼))
4		breq1 5145	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → (𝑥 < 𝐼 ↔ (𝐶‘𝑋) < 𝐼))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → 𝑥 = (𝐶‘𝑋))
6		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → (𝑥 − 1) = ((𝐶‘𝑋) − 1))
7	4, 5, 6	ifbieq12d 4552	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1)) = if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1)))
8	3, 7	ifbieq2d 4550	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐶‘𝑋) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝐶‘𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))))
10		metakunt11.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))))
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐶 = (𝑦 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)))))
12		eqeq1 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀))
13		breq1 5145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼))
14		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → 𝑦 = 𝑋)
15		oveq1 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 + 1) = (𝑋 + 1))
16	13, 14, 15	ifbieq12d 4552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
17	12, 16	ifbieq2d 4550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
18	17	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))))
19		metakunt11.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
20		elfznn 13554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑀) → 𝑋 ∈ ℕ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
22	21	nnred 12249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ ℝ)
24		metakunt11.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
25	24	nnred 12249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ)
27		metakunt11.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28	27	nnred 12249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ)
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝐼)
31		metakunt11.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐼 ≤ 𝑀)
33	23, 26, 29, 30, 32	ltletrd 11396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 < 𝑀)
34	23, 33	ltned 11372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ≠ 𝑀)
35		df-ne 2936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀)
36	34, 35	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝑀)
37		iffalse 4533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)))
39		iftrue 4530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 < 𝐼 → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1)) = 𝑋)
41	38, 40	eqtrd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
42	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝐼, if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 + 1))) = 𝑋)
43	18, 42	eqtrd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑦 = 𝑋) → if(𝑦 = 𝑀, 𝐼, if(𝑦 < 𝐼, 𝑦, (𝑦 + 1))) = 𝑋)
44	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ∈ (1...𝑀))
45	11, 43, 44, 44	fvmptd 7006	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘𝑋) = 𝑋)
46		eqeq1 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶‘𝑋) = 𝑋 → ((𝐶‘𝑋) = 𝐼 ↔ 𝑋 = 𝐼))
47	46	ifbid 4547	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶‘𝑋) = 𝑋 → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))))
48	45, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))))
49	23, 30	ltned 11372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 ≠ 𝐼)
50	49	neneqd 2940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → ¬ 𝑋 = 𝐼)
51		iffalse 4533	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝐼 → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1)))
52	50, 51	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1)))
53	45	eqcomd 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝑋 = (𝐶‘𝑋))
54		breq1 5145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝐶‘𝑋) → (𝑋 < 𝐼 ↔ (𝐶‘𝑋) < 𝐼))
55		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝐶‘𝑋) → 𝑋 = (𝐶‘𝑋))
56		oveq1 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝐶‘𝑋) → (𝑋 − 1) = ((𝐶‘𝑋) − 1))
57	54, 55, 56	ifbieq12d 4552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = (𝐶‘𝑋) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1)))
58	53, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1)))
59	58	eqcomd 2733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1)) = if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)))
60	30	iftrued 4532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 < 𝐼, 𝑋, (𝑋 − 1)) = 𝑋)
61	59, 60	eqtrd 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1)) = 𝑋)
62	52, 61	eqtrd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if(𝑋 = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑋)
63	48, 62	eqtrd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑋)
64	63	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝐶‘𝑋)) → if((𝐶‘𝑋) = 𝐼, 𝑀, if((𝐶‘𝑋) < 𝐼, (𝐶‘𝑋), ((𝐶‘𝑋) − 1))) = 𝑋)
65	9, 64	eqtrd 2767	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) ∧ 𝑥 = (𝐶‘𝑋)) → if(𝑥 = 𝐼, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, 𝑥, (𝑥 − 1))) = 𝑋)
66	27, 24, 31, 10	metakunt2 41578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
67	66	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → 𝐶:(1...𝑀)⟶(1...𝑀))
68	67, 44	ffvelcdmd 7089	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐶‘𝑋) ∈ (1...𝑀))
69	2, 65, 68, 44	fvmptd 7006	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝐼) → (𝐴‘(𝐶‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11129  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11466  ℕcn 12234  ...cfz 13508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509

This theorem is referenced by:  metakunt13  41589