Theorem ixi 11873

Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ixi	⊢ (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 11477	. 2 ⊢ -1 = (0 − 1)
2		ax-i2m1 11206	. . 3 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
3		0cn 11236	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ax-1cn 11196	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		ax-icn 11197	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6	5, 5	mulcli 11251	. . . 4 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
7	3, 4, 6	subadd2i 11578	. . 3 ⊢ ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
8	2, 7	mpbir 230	. 2 ⊢ (0 − 1) = (i · i)
9	1, 8	eqtr2i 2757	1 ⊢ (i · i) = -1

Syntax hints:   = wceq 1534  (class class class)co 7420  0cc0 11138  1c1 11139  ici 11140   + caddc 11141   · cmul 11143   − cmin 11474  -cneg 11475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-sub 11476  df-neg 11477

This theorem is referenced by:  recextlem1  11874  inelr  12232  cju  12238  irec  14196  i2  14197  crre  15093  remim  15096  remullem  15107  sqrtneglem  15245  absi  15265  sinhval  16130  coshval  16131  cosadd  16141  absefib  16174  efieq1re  16175  demoivreALT  16177  ncvspi  25083  cphipval2  25168  itgmulc2  25762  tanarg  26552  atandm2  26808  efiasin  26819  asinsinlem  26822  asinsin  26823  asin1  26825  efiatan  26843  atanlogsublem  26846  efiatan2  26848  2efiatan  26849  tanatan  26850  atantan  26854  atans2  26862  dvatan  26866  log2cnv  26875  nvpi  30476  ipasslem10  30648  polid2i  30966  lnophmlem2  31826  1nei  32518  iexpire  35329  itgmulc2nc  37161  dvasin  37177  sqrtcval  43071