Theorem hoidmvval 45888

Description: The dimensional volume of a multidimensional half-open interval. Definition 115A (c) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidmvval.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidmvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidmvval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
hoidmvval	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoidmvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmvval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		oveq2 7422	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (ℝ ↑m 𝑥) = (ℝ ↑m 𝑋))
3		eqeq1 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
4		prodeq1 15877	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))
5	3, 4	ifbieq2d 4550	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))))
6	2, 2, 5	mpoeq123dv 7489	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
7		hoidmvval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
8		ovex 7447	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
9	8, 8	mpoex 8078	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))) ∈ V)
11	1, 6, 7, 10	fvmptd3 7022	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑋) = (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
12		fveq1 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎‘𝑘) = (𝐴‘𝑘))
14		fveq1 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
16	13, 15	oveq12d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
17	16	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
18	17	prodeq2ad 44903	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	18	ifeq2d 4544	. . 3 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
20	19	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵)) → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘)))) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
21		hoidmvval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
22		reex 11221	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
24		elmapg 8849	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
25	23, 7, 24	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:𝑋⟶ℝ))
26	21, 25	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
27		hoidmvval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
28		elmapg 8849	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
29	23, 7, 28	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐵:𝑋⟶ℝ))
30	27, 29	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
31		c0ex 11230	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
32		prodex 15875	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ V
33	31, 32	ifex 4574	. . 3 ⊢ if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) ∈ V
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) ∈ V)
35	11, 20, 26, 30, 34	ovmpod 7567	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = if(𝑋 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  ∅c0 4318  ifcif 4524   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416   ↑_m cmap 8836  Fincfn 8955  ℝcr 11129  0cc0 11130  [,)cico 13350  ∏cprod 15873  volcvol 25379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-seq 13991  df-prod 15874

This theorem is referenced by:  hoidmvcl  45893  hoidmv0val  45894  hoidmvn0val  45895  hsphoidmvle  45897