Theorem f1rnen 32427

Description: Equinumerosity of the range of an injective function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
f1rnen	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ran 𝐹 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem f1rnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 6794	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fnima 6685	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 “ 𝐴) = ran 𝐹)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) = ran 𝐹)
5		ssid 4002	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
6		f1imaeng 9035	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
7	5, 6	mp3an2 1446	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
8	4, 7	eqbrtrrd 5172	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ran 𝐹 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148  ran crn 5679   “ cima 5681   Fn wfn 6543  –1-1→wf1 6545   ≈ cen 8961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-er 8725  df-en 8965

This theorem is referenced by:  fedgmul  33329