Theorem divlt0gt0d 44640

Description: The ratio of a negative numerator and a positive denominator is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divlt0gt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divlt0gt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
divlt0gt0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
divlt0gt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 0)

Proof of Theorem divlt0gt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divlt0gt0d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2		divlt0gt0d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		0red 11241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4	2, 3	ltnled 11385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
5	1, 4	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ≤ 𝐴)
6		divlt0gt0d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
7	2, 6	ge0divd 13080	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
8	5, 7	mtbid 324	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
9	2, 6	rerpdivcld 13073	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
10	9, 3	ltnled 11385	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
11	8, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) < 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ℝcr 11131  0cc0 11132   < clt 11272   ≤ cle 11273   / cdiv 11895  ℝ⁺crp 13000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-rp 13001

This theorem is referenced by:  fourierdlem24  45491  fourierdlem26  45493  fourierdlem42  45509