Theorem dfeldisj4 38187

Description: Alternate definition of the disjoint elementhood predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfeldisj4	⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑥

Proof of Theorem dfeldisj4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eldisj 38174	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		relres 6009	. . 3 ⊢ Rel (◡ E ↾ 𝐴)
3		dfdisjALTV4 38183	. . 3 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ Rel (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	mpbiran2 709	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥)
5		brcnvepres 37734	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)))
6	5	el2v 3478	. . . . 5 ⊢ (𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
7	6	mobii 2538	. . . 4 ⊢ (∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
8		df-rmo 3372	. . . 4 ⊢ (∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢 ↔ ∃*𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
9	7, 8	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)
10	9	albii 1814	. 2 ⊢ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)
11	1, 4, 10	3bitri 297	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1532   ∈ wcel 2099  ∃*wmo 2528  ∃*wrmo 3371  Vcvv 3470   class class class wbr 5143   E cep 5576  ^◡ccnv 5672   ↾ cres 5675  Rel wrel 5678   Disj wdisjALTV 37677   ElDisj weldisj 37679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5571  df-eprel 5577  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-coss 37878  df-cnvrefrel 37994  df-disjALTV 38172  df-eldisj 38174

This theorem is referenced by:  dfeldisj5  38188