Theorem crctcshlem4 29630

Description: Lemma for crctcsh 29634. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshlem4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem crctcshlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
2		oveq2 7428	. . . 4 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝐹 cyclShift 𝑆) = (𝐹 cyclShift 0))
3		crctcsh.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctiswlk 29609	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5		crctcsh.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6	5	wlkf 29427	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
7	3, 4, 6	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
8		cshw0 14776	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
10	2, 9	sylan9eqr 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐹 cyclShift 𝑆) = 𝐹)
11	1, 10	eqtrid 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐻 = 𝐹)
12		crctcsh.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
13		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 0))
14		crctcsh.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
15		crctcsh.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
16	14, 5, 3, 15	crctcshlem1 29627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
17	16	nn0cnd 12564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
18	17	subid1d 11590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
19	13, 18	sylan9eqr 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑁 − 𝑆) = 𝑁)
20	19	breq2d 5160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
22		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (𝑥 + 0))
23	22	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 + 𝑆) = (𝑥 + 0))
24		elfzelz 13533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℂ)
26	25	addridd 11444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
27	23, 26	sylan9eq 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 + 𝑆) = 𝑥)
28	27	fveq2d 6901	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘𝑥))
29	27	fvoveq1d 7442	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))
30	21, 28, 29	ifbieq12d 4557	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁))))
31	30	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))))
32		elfzle2 13537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁)
33	32	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ≤ 𝑁)
34	33	iftrued 4537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁))) = (𝑃‘𝑥))
35	34	mpteq2dva 5248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)))
36	14	wlkp 29429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
37	3, 4, 36	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
38		ffn 6722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
39	15	eqcomi 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
40	39	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...𝑁)
41	40	fneq2i 6652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)) ↔ 𝑃 Fn (0...𝑁))
42	38, 41	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 Fn (0...𝑁))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃 Fn (0...𝑁))
44		dffn5 6957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 Fn (0...𝑁) ↔ 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)))
45	43, 44	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)))
46	45	eqcomd 2734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)) = 𝑃)
47	37, 46	mpdan 686	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)) = 𝑃)
48	35, 47	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))) = 𝑃)
49	48	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))) = 𝑃)
50	31, 49	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) = 𝑃)
51	12, 50	eqtrid 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝑄 = 𝑃)
52	11, 51	jca 511	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4529   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5678   Fn wfn 6543  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11138   + caddc 11141   ≤ cle 11279   − cmin 11474  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  ♯chash 14321  Word cword 14496   cyclShift ccsh 14770  Vtxcvtx 28808  iEdgciedg 28809  Walkscwlks 29409  Circuitsccrcts 29597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-csh 14771  df-wlks 29412  df-trls 29505  df-crcts 29599

This theorem is referenced by:  crctcshwlk  29632  crctcsh  29634