Theorem cnprest2 23187

Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnprest.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cnprest.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnprest2	⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃)))

Proof of Theorem cnprest2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnptop1 23139	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
2		cnprest.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	cnprcl 23142	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
4	1, 3	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)))
6		cnptop1 23139	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
7	2	cnprcl 23142	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
8	6, 7	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)))
10		simpl2 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝐵)
11		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
12	10, 11	ffvelcdmd 7089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
13	12	biantrud 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)))
14		elin 3961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵))
15	13, 14	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)))
16		imassrn 6068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ ran 𝐹
17	10	frnd 6724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
18	16, 17	sstrid 3989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝐵)
19	18	biantrud 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝐵)))
20		ssin 4226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))
21	19, 20	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))
22	21	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))))
23	22	rexbidv 3174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))))
24	15, 23	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
25	24	ralbidv 3173	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
26		vex 3474	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
27	26	inex1 5311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V)
29		simpl1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Top)
30		cnprest.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
31		uniexg 7739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Top → ∪ 𝐾 ∈ V)
32	30, 31	eqeltrid 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Top → 𝑌 ∈ V)
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝑌 ∈ V)
34		simpl3 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ⊆ 𝑌)
35	33, 34	ssexd 5318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ V)
36		elrest 17402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
37	29, 35, 36	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
38		eleq2 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)))
39		sseq2 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → ((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))
40	39	anbi2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))))
41	40	rexbidv 3174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))))
42	38, 41	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → (((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
43	42	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
44	28, 37, 43	ralxfr2d 5404	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
45	25, 44	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧))))
46	10, 34	fssd 6734	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
47		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
48	2, 30	iscnp2 23136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)))))
49	48	baib 535	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)))))
50	47, 29, 11, 49	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)))))
51	46, 50	mpbirand 706	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥))))
52	2	toptopon 22812	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
53	47, 52	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
54	30	toptopon 22812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
55	29, 54	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
56		resttopon 23058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
57	55, 34, 56	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
58		iscnp 23134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)))))
59	53, 57, 11, 58	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)))))
60	10, 59	mpbirand 706	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧))))
61	45, 51, 60	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃)))
62	61	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃))))
63	5, 9, 62	pm5.21ndd 379	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057  ∃wrex 3066  Vcvv 3470   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945  ∪ cuni 4903  ran crn 5673   “ cima 5675  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↾_t crest 17395  Topctop 22788  TopOnctopon 22805   CnP ccnp 23122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8840  df-en 8958  df-fin 8961  df-fi 9428  df-rest 17397  df-topgen 17418  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-cnp 23125

This theorem is referenced by:  limccnp  25813  limccnp2  25814  dirkercncflem4  45488  dirkercncf  45489  fouriercnp  45608