Theorem cdlemg1ci2 40059

Description: Any function of the form of the function constructed for cdleme 40033 is a translation. TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 18-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg1c.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg1c.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg1c.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg1c.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg1ci2	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)) → 𝐹 ∈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ≤ ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Proof of Theorem cdlemg1ci2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)) → 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄))
2		cdlemg1c.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemg1c.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		cdlemg1c.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		cdlemg1c.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄) = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)
7	2, 3, 4, 5, 6	ltrniotacl 40052	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄) ∈ 𝑇)
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)) → (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄) ∈ 𝑇)
9	1, 8	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)) → 𝐹 ∈ 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  ℩crio 7375  lecple 17240  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  LHypclh 39457  LTrncltrn 39574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-riotaBAD 38425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-undef 8279  df-map 8847  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632

This theorem is referenced by:  cdlemg1cN  40060  cdlemg1cex  40061