Theorem adjeq 31732

Description: A property that determines the adjoint of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjeq	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem adjeq

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funadj 31683	. 2 ⊢ Fun adjℎ
2		df-adjh 31646	. . . . . 6 ⊢ adjℎ = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))}
3	2	eleq2i 2820	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))})
4		ax-hilex 30796	. . . . . . 7 ⊢ ℋ ∈ V
5		fex 7232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
6	4, 5	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 ∈ V)
7		fex 7232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ℋ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
8	4, 7	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑆: ℋ⟶ ℋ → 𝑆 ∈ V)
9		feq1 6697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑧: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶ ℋ))
10		fveq1 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (𝑧‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
11	10	oveq1d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
12	11	eqeq1d 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))))
13	12	2ralbidv 3213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))))
14	9, 13	3anbi13d 1435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑇 → ((𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))))
15		feq1 6697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑤: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑆: ℋ⟶ ℋ))
16		fveq1 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑤‘𝑦) = (𝑆‘𝑦))
17	16	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))
18	17	eqeq2d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
19	18	2ralbidv 3213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
20	15, 19	3anbi23d 1436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦))) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
21	14, 20	opelopabg 5534	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
22	6, 8, 21	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑧‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑤‘𝑦)))} ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
23	3, 22	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
24		df-3an 1087	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) ↔ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
25	24	baibr 536	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦)))))
26	23, 25	bitr4d 282	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ) → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))))
27	26	biimp3ar 1467	. 2 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → ⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ)
28		funopfv 6943	. 2 ⊢ (Fun adjℎ → (⟨𝑇, 𝑆⟩ ∈ adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆))
29	1, 27, 28	mpsyl 68	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (𝑆‘𝑦))) → (adjℎ‘𝑇) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  Vcvv 3469  ⟨cop 4630  {copab 5204  Fun wfun 6536  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ℋchba 30716   ·_ih csp 30719  adj_ℎcado 30752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-hilex 30796  ax-hfvadd 30797  ax-hvcom 30798  ax-hvass 30799  ax-hv0cl 30800  ax-hvaddid 30801  ax-hfvmul 30802  ax-hvmulid 30803  ax-hvdistr2 30806  ax-hvmul0 30807  ax-hfi 30876  ax-his1 30879  ax-his2 30880  ax-his3 30881  ax-his4 30882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-2 12297  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-hvsub 30768  df-adjh 31646

This theorem is referenced by:  unopadj2  31735  hmopadj  31736  adj0  31791  adjmul  31889  adjadd  31890